上智大学 理工学部 情報理工学科 教員紹介｜都築正男教授の整数論・保型形式研究とは

こんにちは！KOSSUN教育ラボ教務担当（上智大学推薦入試サポート）です。

今回のテーマは、

「上智大学 理工学部 情報理工学科の都築正男教授と、整数論・保型形式の研究」です。

2、3、5、7、11……と続く素数には、どのような規則があるのでしょうか。整数は小学生の頃から使っている身近な存在ですが、その性質を深く追究すると、現在でも多くの研究者が取り組む高度な数学の世界へつながっていきます。

整数論の中でも、保型形式やL関数と呼ばれる数学的対象を研究しているのが都築正男教授です。

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都築正男教授はどんな研究者？

都築正男教授は、上智大学 理工学部 情報理工学科に所属し、整数論を専門としています。

東京大学大学院数理科学研究科で博士（数理科学）の学位を取得し、保型形式、保型表現、それらに付随するL関数などを中心に研究しています。

整数論というと、「整数の計算を研究する学問」というイメージを持つかもしれません。しかし現代の整数論では、解析学、代数学、幾何学、表現論など、さまざまな数学分野の理論が使われています。

一見すると異なる数学の世界を結びつけながら、数が持つ深い構造を明らかにしていくところに、現代整数論の特徴があります。

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整数論は「身近な数」を深く研究する

整数論は、その名の通り整数の性質を研究する数学です。

たとえば「素数」は、1と自分自身以外では割り切れない2以上の整数です。2、3、5、7などは素数ですが、4は2で割れるため素数ではありません。

定義自体は高校生にも理解できます。しかし、「素数はどのように分布しているのか」「ある方程式を満たす整数は存在するのか」と問いを深めていくと、問題は急速に難しくなります。

非常に簡単に説明できるのに、答えを求めることは極めて難しい。このような問題が数多く存在することも整数論の面白さです。

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「保型形式」とは何だろう？

都築教授の研究を理解するための重要なキーワードが「保型形式」です。

保型形式は、特定の変換に対して一定の規則性や対称性を持つ特殊な関数です。

高校数学でも、関数について「入力を変えると出力がどう変化するのか」を考えます。大学数学ではさらに、ある変換を行ったときに特徴的な規則を保つ関数を研究することがあります。

保型形式は非常に高度な数学ですが、その特徴の一つは、整数論だけで閉じた対象ではないことです。

代数学、解析学、幾何学、表現論など、異なる数学分野の間に深い関係を生み出す対象として研究されてきました。

「一つの数学的対象を調べていたら、まったく別の分野とのつながりが見えてくる」。そんな数学ならではの面白さを感じられる研究分野です。

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フェルマーの最終定理とも関係する保型形式

保型形式という言葉を知らなくても、「フェルマーの最終定理」を聞いたことがある人はいるかもしれません。

フェルマーの最終定理は、17世紀に提示され、その後300年以上にわたって数学者を悩ませた有名な問題です。

1990年代にアンドリュー・ワイルズらによって証明されましたが、その証明では、整数の方程式だけを直接計算し続けたわけではありません。

楕円曲線とモジュラー形式という、一見すると別の数学的対象の間にある深い関係が重要な役割を果たしました。モジュラー形式は保型形式の代表的な例の一つです。

「整数についての問題を、別の数学の世界へ移して考えることで解決への道が開ける」。これは現代数学の非常に興味深い特徴です。

都築教授が研究する保型形式も、こうした数学分野を横断する大きな理論の中に位置しています。

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「L関数」は異なる数学をつなぐ

都築教授のもう一つの重要な研究対象が「L関数」です。

L関数は、整数論をはじめとする現代数学で重要な役割を持つ特殊な関数です。

保型形式などの数学的対象からL関数をつくり、その性質を調べることで、もとの対象について重要な情報が得られることがあります。

ここでも特徴的なのは、一つの問題だけを孤立して考えるのではなく、関数や代数的構造などを通じて異なる数学的対象を結びつけていくことです。

都築教授は、保型形式や保型表現、それらに付随するL関数などについて研究を進めています。

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数式の「対称性」に注目する

保型形式を理解するときの入口になる考え方の一つが「対称性」です。

図形であれば、正方形を90度回転させても同じ形になる、といった対称性をイメージできます。

数学では、図形だけでなく、関数や数式の世界にも対称性を考えることができます。

ある変換を行っても一定の規則が保たれるなら、その性質を利用することで複雑な数学的対象を整理できる場合があります。

目に見える図形の対称性から、目には見えない数や関数の対称性へ。このように抽象化していくことも大学数学の特徴です。

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高校数学からどうつながる？

保型形式やL関数そのものは大学でも高度な内容ですが、その入口となる考え方は高校数学にもあります。

たとえば整数の性質、素数、方程式、関数、数列、複素数などです。

高校では「この問題の答えはいくつか」を求めることが多いでしょう。一方、大学数学では「なぜこの性質が成り立つのか」「似た性質を持つ対象をまとめて考えられないか」「別の数学分野とどのようにつながっているのか」という問いがより重要になります。

たとえば素数についても、単に素数を探すだけでなく、「素数はどのような規則で現れるのか」と考えれば、非常に深い整数論の問題につながります。

身近な数から始まり、まだ誰も完全には理解していない数学の世界へ進めるところが、整数論の魅力の一つです。

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なぜ情報理工学科で純粋数学を研究するの？

情報理工学科という名前から、AI、プログラミング、ネットワークなどを想像する人も多いでしょう。しかし、上智大学 理工学部 情報理工学科では、「人間情報」「情報通信」「社会情報」「数理情報」という4つのキーテーマから幅広い研究が行われています。

都築教授の研究は、その中でも数理情報の広がりを感じられる研究です。

情報科学の背景には、離散数学、確率・統計、代数学、解析学など、さまざまな数学があります。一方で、情報理工学科に所属する数学研究がすべてAIや暗号などへの直接的な応用を目的としているわけではありません。

都築教授の中心的な研究対象も、保型形式やL関数などの純粋数学です。

「すぐ何に使えるのか」だけで研究を見るのではなく、数学そのものの構造を理解しようとする研究も、情報理工学科における数理研究の重要な一面です。

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整数論と暗号を同じものと考えない

整数論に興味を持って調べていると、暗号技術との関係を目にすることがあります。

実際に、現代の暗号には整数論や代数学の考え方を利用するものがあります。そのため、「純粋数学として研究されてきた理論が、後になって情報技術と結びつく」という例を知ることもできます。

ただし、「整数論を研究しているから暗号を研究している」という意味ではありません。

都築教授の研究の中心は、保型形式、保型表現、L関数などに関する理論的な整数論です。研究内容を理解するときには、純粋数学として何を明らかにしようとしているのかを見ることが大切です。

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推薦入試では「数学が好き」の中身を考えよう

推薦入試で情報理工学科を志望し、数学に関心がある人は、「数学が好き」「数学が得意」という言葉から、もう一歩踏み込んで考えてみましょう。

たとえば、「素数に規則があるのか気になる」「公式を使うより、その公式がなぜ成り立つのかを考えるのが好き」「一見違う問題に同じ数学的構造が現れることが面白い」といった関心があります。

そこから、「素数にはどのような規則があるのだろう」「整数の問題と関数がなぜ結びつくのだろう」「フェルマーの最終定理になぜ保型形式が関係したのだろう」と調べてみることもできます。

高校生の段階で保型形式やL関数を理解している必要はありません。

大切なのは、分からない言葉を覚えて並べることではなく、自分が数学のどの部分に面白さを感じ、そこからどのような疑問を持ったのかを整理することです。

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身近な整数から現代数学の最前線へ

都築正男教授の研究を見ていくと、整数という非常に身近な存在から、保型形式、保型表現、L関数といった高度な現代数学へ世界が広がっていることが分かります。

そして現代の整数論では、一つの分野だけで問題を解こうとするのではなく、解析学、代数学、幾何学、表現論などの異なる数学が結びつきながら発展しています。

上智大学 理工学部 情報理工学科を調べる際には、AIやプログラミングなどの研究だけではなく、このような純粋数学を深く追究する「数理情報」の研究にも注目してみてください。

もし一人で整理するのが難しいと感じたら、KOSSUN教育ラボの無料個別相談も活用してみてください。

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