上智大学 理工学部 情報理工学科 教員紹介｜中島俊樹教授の量子群・結晶基底研究とは
こんにちは！KOSSUN教育ラボ教務担当（上智大学推薦入試サポート）です。
今回のテーマは、
「上智大学 理工学部 情報理工学科の中島俊樹教授と、量子群・結晶基底の研究」です。
情報理工学科というと、AIやプログラミング、データサイエンス、通信などを思い浮かべる人が多いかもしれません。しかし、上智大学 理工学部 情報理工学科には、現代数学そのものを深く研究する「数理情報」の分野もあります。
中島俊樹教授は、その中でも量子群の表現論を専門とし、結晶基底、幾何結晶、クラスター代数などを研究しています。
高校数学ではほとんど登場しない言葉ばかりですが、今回は専門用語を覚えることではなく、「大学の数学ではどのようなことを研究するのか」という視点から見ていきましょう。
中島俊樹教授はどんな研究者？
中島教授は、上智大学 理工学部 情報理工学科に所属する教授です。
京都大学で博士（理学）の学位を取得し、量子群の表現論を専門として研究を続けています。研究テーマとしては、幾何結晶や結晶基底などが挙げられています。
研究キーワードには、量子群、結晶基底、幾何結晶、クラスター代数、圏化などがあります。
また、上智大学の情報理工学科では、中島教授は「数理情報」の領域を担う教員の一人として位置づけられています。
AIなどへの直接的な応用を目的とする研究ではなく、数学的対象の背後にある構造や規則を明らかにしていく純粋数学の研究です。
まず「群」とは何だろう？
量子群を理解する前に、大学数学に登場する「群」という考え方を知っておくとイメージしやすくなります。
群は、簡単にいえば「操作や対称性に潜む共通の構造」を数学的に捉えるための考え方です。
たとえば正方形を回転させることを考えてみましょう。90度、180度、270度と回転させても、正方形そのものの形は変わりません。
一見すると単なる図形の話ですが、「どのような操作をすると元と同じ状態になるのか」を抽象化すると、図形だけではなく、さまざまな数学的対象に共通する構造を調べることができます。
高校では個別の数式や図形を扱うことが多いですが、大学では、それらの背後にある共通の仕組みそのものを研究対象にすることがあります。
量子群とは？
中島教授の中心的な研究対象が「量子群」です。
量子群は1980年代に、数理物理における可積分系などとの関係から発展した数学的対象です。
名前に「量子」と付いていますが、「量子コンピュータを研究するための群」という意味ではありません。
従来の代数的な構造を変形・拡張する中で現れた数学的対象であり、表現論や組合せ論、幾何学、数理物理など、さまざまな数学分野との関係が研究されています。
中島教授は、その量子群をどのように理解し、数学的な構造として表現できるのかを研究しています。
「表現論」は抽象的なものを調べる方法
ここで登場するのが「表現論」です。
数学では、対象があまりにも抽象的だと、そのままでは性質を調べにくいことがあります。
そこで、抽象的な構造を行列などの別の数学的対象として表し、そこから元の構造を理解しようとする考え方があります。
これが表現論の基本的な発想です。
高校数学で行列を本格的に扱う機会は限られていますが、「複雑なものを、別の表現へ置き換えることで調べやすくする」という考え方は、大学数学の面白さを知るヒントになります。
結晶基底とは？
中島教授の研究で特に重要なのが「結晶基底」です。
結晶基底は、量子群の表現を研究する中で発展してきた理論で、複雑な表現の構造を組合せ論的に捉えるための重要な枠組みです。
結晶基底を利用すると、量子群の表現が持つ情報の一部を、頂点とそれらを結ぶ線からなるグラフのような離散的な構造として表すことができます。
非常に抽象的な代数の世界に、組合せ的に調べられる構造が現れるところが興味深い点です。
中島教授は、結晶基底の理論を中心として、その具体的な構造や表現方法について研究しています。
幾何学と代数学がつながる「幾何結晶」
もう一つの重要なキーワードが「幾何結晶」です。
名前の通り、結晶基底に関係する構造を幾何学的な立場から考える研究です。
数学では、代数学と幾何学が完全に別々に存在しているわけではありません。
代数的な式を図形として考えたり、幾何学的な対象の性質を代数によって調べたりすることで、一つの対象を異なる方向から理解できることがあります。
中島教授の研究でも、結晶基底と幾何結晶の関係は重要なテーマになっています。
「同じ数学的構造が、違う分野から見ると別の姿で現れる」ということも、現代数学の面白さの一つです。
クラスター代数との関係も研究
中島教授の研究キーワードには「クラスター代数」もあります。
クラスター代数は2000年代に導入された比較的新しい代数的な枠組みで、その後、表現論や組合せ論、幾何学などとのさまざまな関係が研究されてきました。
中島教授の研究でも、結晶基底の多面体表示や幾何結晶と、クラスター代数との関係などが研究テーマとなっています。
ここで大切なのは、それぞれの難しい定義を高校生の段階ですべて理解することではありません。
一つの数学分野を深く研究していくと、別々に見えていた数学の理論同士がつながっていくことがある。その点に注目してみてください。
「圏化」とはどんな考え方？
さらに、中島教授の研究キーワードには「圏化」もあります。
圏化は非常に高度な数学なので、高校生が詳しい定義まで理解する必要はありません。
大まかには、すでにある数学的な構造を、さらに豊かな構造を持つ数学的対象の世界から捉え直す考え方の一つです。
中島教授は、圏化によって実現された量子群に関係する結晶構造についても研究を進めています。
高校数学では「答えを求める」ことが中心になりやすいですが、大学の数学では、「数学的な対象そのものを別の枠組みから捉え直す」という研究も行われているのです。
現在も発展している研究テーマ
中島教授は現在も、量子群や結晶基底に関する研究成果を発表しています。
近年も結晶構造や量子群に関係する研究論文を発表しているほか、量子群や結晶基底について解説する書籍・記事の執筆にも携わっています。
量子群、結晶基底、幾何結晶、クラスター代数といった複数の数学的理論の関係を探りながら、表現論の構造をより深く理解する研究が続いています。
「数学はすでに完成していて、学校では昔から分かっている公式を勉強するだけ」と思っている人にとって、現在も新しい研究成果が生まれていること自体が新鮮に感じられるかもしれません。
高校数学からどうつながる？
量子群や結晶基底は、高校数学から直接理解できる内容ではありません。
しかし、大学数学へつながる入口は高校数学の中にもあります。
図形の対称性、場合の数や組合せ、ベクトル、行列につながる考え方、関数などを学ぶ中で、「なぜこの規則が成り立つのだろう」「別の問題にも共通する構造はないだろうか」と考えることは、大学数学へつながる姿勢です。
特に数学が好きな人は、問題を速く解けるかどうかだけではなく、公式の理由や、複数の問題の背後にある共通した仕組みに目を向けてみてください。
なぜ情報理工学科で純粋数学を研究するの？
「情報理工学科なのに、なぜ量子群のような純粋数学を研究する先生がいるの？」と疑問を持つ人もいるでしょう。
上智大学 理工学部 情報理工学科では、人間情報、情報通信、社会情報、数理情報という幅広い領域から情報を捉えています。
中島教授の研究は、このうち「数理情報」に位置づけられる研究です。
情報科学のすべてがAIやアプリ開発へ直接つながるわけではありません。数学的な構造そのものを研究し、論理的・抽象的に対象を理解する分野も、情報理工学科の学びの一部です。
「情報系に進みたいけれど、数学そのものも深く学びたい」という人にとっては、情報理工学科の幅広さを知る重要な研究分野といえるでしょう。
推薦入試では「数学が得意」の先を考えよう
中島教授の研究に興味を持った人は、「数学が得意だから情報理工学科へ行きたい」だけで終わらせず、自分が数学のどこに惹かれているのかを考えてみましょう。
計算して答えを出すことが好きなのか。証明を考えることが好きなのか。図形の対称性が面白いのか。複雑な問題の中に共通する規則を見つけることに興味があるのか。
たとえば、「高校数学で対称性に興味を持ち、調べる中で群という考え方を知った。さらに大学では群や表現論がどのように発展するのかを知りたい」と興味を深めることもできます。
量子群や結晶基底について高校生のうちから専門的に理解している必要はありません。
重要なのは、知らない数学に出会ったときに「難しそう」で終わるのではなく、「これは何を明らかにするための数学なのだろう」と問いを持つことです。
大学では「数学そのもの」が研究対象になる
中島俊樹教授の研究から見えてくるのは、高校までの数学と大学で研究する数学の違いです。
高校では、与えられた問題に対して公式や定理を使い、答えを求める場面が多くあります。
一方、大学の数学では、その公式や構造の背後にある仕組みを考え、新しい数学的対象や理論同士の関係そのものを研究します。
量子群、結晶基底、幾何結晶、クラスター代数という言葉を今すぐ理解する必要はありません。
数学を「問題を解くための道具」だけではなく、「まだ分かっていない構造を探究する学問」として見てみると、上智大学 理工学部 情報理工学科の数理情報という分野の魅力が見えてくるでしょう。
もし一人で整理するのが難しいと感じたら、KOSSUN教育ラボの無料個別相談も活用してみてください。
※本記事は、記事作成時点で上智大学公式サイト等に掲載されている情報を確認したうえで作成しています。入試制度、出願資格、試験内容、日程、カリキュラム、教員の所属・研究分野などは変更される場合があります。受験を検討している方は、必ず上智大学公式サイトおよび対象年度の最新の入学試験要項をご自身で確認してください。
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※この記事は専門家による監修のもと執筆されています。
この記事を監修した人
川又 ヒトミ（かわまた・ひとみ）
KOSSUN教育ラボ プロ講師
【略歴】
お茶の水女子大学卒業後、私立高校に入職。進路指導部長を務め、大学入試改革や新学習指導要領、ギガスクール構想など変化する教育現場にて指揮を執る。
プロ講師に転向後は、上智大学をはじめ、難関大学に毎年多数の合格者を輩出。最新情報を駆使した戦略的な指導に定評がある。塾生はもちろん、保護者、講師からも一目置かれ、「合格請負人」の異名を取る人気講師として知られる。
著書に『総合型選抜・推薦型選抜で「凡人」が難関大に合格る本』（ビジネス実用社）。
