上智大学 理工学部 情報理工学科 教員紹介｜大城佳奈子准教授の結び目理論・位相幾何学研究とは

こんにちは！KOSSUN教育ラボ教務担当（上智大学推薦入試サポート）です。

今回のテーマは、

「上智大学 理工学部 情報理工学科の大城佳奈子准教授と、結び目理論・位相幾何学の研究」です。

「情報理工学科」と聞くと、AIやプログラミング、コンピュータなどを思い浮かべる人が多いかもしれません。しかし、情報科学を支える重要な基盤の一つが数学です。上智大学 理工学部 情報理工学科では、数理科学そのものを研究する教員もいます。

その一人が、「結び目理論」を研究する大城佳奈子准教授です。今回は、ひもの「結び目」がなぜ大学の数学になるのか、その不思議な世界を見ていきましょう。

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大城佳奈子准教授はどんな研究者？

大城佳奈子准教授は、上智大学 理工学部 情報理工学科に所属し、位相幾何学、特に結び目理論を専門としています。

広島大学で学士、修士、博士（理学）の学位を取得し、結び目、絡み目、曲面結び目、曲面絡み目、空間グラフ、ハンドル体絡み目、カンドルなどをキーワードとして研究しています。

上智大学では「結び目・絡み目のカンドル代数を用いた研究」を主な研究テーマとして掲げています。

言葉だけを見ると難しく感じるかもしれませんが、出発点は意外に身近です。「この二つの結び目は、本当に違う形なのだろうか？」という問いから始まります。

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「結び目」を数学で研究するとは？

数学で扱う結び目をイメージするときは、一本のひもの両端をつないで輪にしたものを考えてみましょう。

輪を切らずに、伸ばしたり縮めたり動かしたりして別の形にできるのであれば、数学的には同じ結び目として考えることができます。一方、どう動かしても同じ形にできないのであれば、異なる結び目である可能性があります。

では、複雑に絡まった二つの輪を見せられたとき、それらが「同じ」なのか「違う」のかをどう証明すればよいのでしょうか。

見た目だけでは判断できません。そこで数学者は、形を変えても変わらない性質を見つけ、それを手がかりに結び目を区別します。このような考え方が結び目理論の重要な部分です。

身近な「ひもの形」から、分類、証明、代数などへと問題が広がっていくのです。

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位相幾何学は「形の本質」を考える数学

結び目理論は、「位相幾何学」あるいは「トポロジー」と呼ばれる数学の分野と深く関係しています。

一般的な幾何学では、長さや角度、面積などを考えることが多いでしょう。一方、位相幾何学では、連続的に変形させても変わらない性質に注目します。

たとえば結び目の場合、輪を少し大きくしたり、細長く変形させたりしても、結び方そのものが変わっていなければ同じ対象として考えます。

つまり、「見た目が違う」ことと「数学的に違う」ことは同じではありません。

何が変わってもよく、何が変わったら別のものになるのか。その境界を論理的に考えていくところに、位相幾何学の面白さがあります。

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結び目を「代数」で調べるカンドルとは？

大城准教授の研究を理解するうえで重要なキーワードが「カンドル」です。

カンドルは、結び目や絡み目の性質を代数的に調べるために利用される数学的な構造です。

結び目は図として描くことができますが、複雑になるほど、図を眺めているだけでは性質を判断することが難しくなります。そこで、結び目の情報を代数的な対象として表現し、その性質を調べるという方法が使われます。

大城准教授は、カンドル代数を利用し、結び目や絡み目、さらに空間グラフやハンドル体絡み目など、さまざまな対象について研究しています。

「形の問題を数や記号の世界へ置き換えて考える」という発想は、数学の大きな特徴の一つです。

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輪だけではない、さらに複雑な「結び目」の世界

大城准教授が扱う対象は、一本の輪だけではありません。

複数の輪が互いに絡み合ったものは「絡み目」と呼ばれます。また、線ではなく曲面が高次元空間の中でどのように配置されているのかを考える「曲面結び目」や、グラフを空間の中に配置した「空間グラフ」なども研究対象になります。

さらに、ハンドル体絡み目など、より複雑な位相的対象についても研究が行われています。

高校数学では平面上の図形や空間図形を扱いますが、大学では「そもそも形を区別するとはどういうことなのか」というところまで問いを深めることができます。

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結び目理論には意外な広がりもある

結び目理論は純粋数学として発展してきた分野ですが、その考え方は数学の外にも接点を持っています。

たとえば一般に、DNAのような長い分子の絡まりを数学的に考える研究など、生命科学と結び目理論の接点も知られています。

ただし、これは「大城准教授がDNA研究を専門としている」という意味ではありません。大城准教授の中心的な研究は、結び目や絡み目などを数学的に理解するための理論研究です。

純粋数学は、必ずしも最初から特定の製品やサービスへの応用を目的として研究されるわけではありません。「なぜそうなるのか」「どのような構造が隠れているのか」を追究すること自体が研究になります。

そのような基礎研究から生まれた数学が、後になって別の科学分野と結びつくことがあるのも数学の興味深いところです。

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なぜ情報理工学科で純粋数学を研究するの？

ここまで読んで、「情報理工学科なのに、なぜ結び目を研究するの？」と思った人もいるでしょう。

上智大学 理工学部 情報理工学科では、「人間情報」「情報通信」「社会情報」「数理情報」という4つのキーテーマを掲げています。情報理工学は、コンピュータを使う技術だけで構成されているわけではありません。

情報をどのように表現するのか、複雑な構造をどのように分類するのか、ある主張が正しいことをどう証明するのかといった数学的な考え方も、情報理工学を支える重要な基盤です。

大城准教授の研究は、情報理工学科の中でも「数理情報」の世界の広さを感じられる研究の一つといえるでしょう。

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高校数学からどうつながる？

高校数学では、図形、ベクトル、関数、集合などさまざまな内容を学びます。しかし、問題集では「答えを求める」ことが中心になりやすいかもしれません。

大学の数学では、「なぜそれが成り立つのか」「そもそも同じとは何を意味するのか」「ある性質をどう定義すればよいのか」と、定義や証明そのものを深く考えていきます。

結び目理論も、単に複雑な結び方を覚える学問ではありません。見た目の異なる形の中から共通する構造を見つけ、それを数学的な言葉で説明していきます。

そのため、「計算が速いから数学に向いている」と単純に考える必要はありません。「なぜ？」「本当にいつでも成り立つの？」と疑問を持ち、筋道を立てて考えることも数学の大切な面白さです。

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推薦入試では「数学が好き」の先を考えてみよう

推薦入試で上智大学 理工学部 情報理工学科を考えているなら、「数学が好きです」「数学が得意です」だけで終わらず、自分が数学のどのようなところに面白さを感じているのか考えてみましょう。

たとえば、「公式を使って答えを出すより、なぜ公式が成り立つのか考えることが好き」「図形を別の見方で考えることが面白い」「一見まったく違うものに共通する規則があることに興味がある」といったところから、自分の関心を深められます。

身近なひもやイヤホンのコードを見て、「二つの絡まり方は本当に違うのだろう」と考えてみるだけでも、結び目理論への入口になります。

情報理工学科を調べるときには、AIやプログラミングだけでなく、その基盤にある数学にも目を向けてみてください。大城佳奈子准教授の研究を調べることで、「情報」と「数学」の意外なつながりが見えてくるかもしれません。

もし一人で整理するのが難しいと感じたら、KOSSUN教育ラボの無料個別相談も活用してみてください。

※本記事は、記事作成時点で上智大学公式サイト等に掲載されている情報を確認したうえで作成しています。入試制度、出願資格、試験内容、日程、カリキュラム、教員の所属・研究分野などは変更される場合があります。受験を検討している方は、必ず上智大学公式サイトおよび対象年度の最新の入学試験要項をご自身で確認してください。

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※この記事は専門家による監修のもと執筆されています。